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Quel est le coefficient de traînée d'une sphère et comment calculer sa traînée ?
Le coefficient de traînée Cx d'une sphère n'est pas constant : il dépend du nombre de Reynolds Re = V D/ν. Aux très faibles vitesses (Re < 1, régime de Stokes) Cx = 24/Re et la traînée est proportionnelle à la vitesse ; entre Re = 1 000 et 2×10⁵ le Cx reste voisin de 0,47 et la traînée croît comme le carré de la vitesse ; vers Re = 3×10⁵ survient la crise de traînée : la couche limite devient turbulente, le décollement recule, le sillage se rétrécit et le Cx chute à 0,1 avant de remonter vers 0,2. La force se calcule par F = ½ ρ V² S Cx avec S la section frontale πD²/4. Exemple : une balle de 100 mm à 20 m/s dans l'air (Re = 1,3×10⁵, Cx = 0,47) subit 0,5 × 1,204 × 400 × 0,00785 × 0,47 = 0,89 N.
Formules de la traînée d'une sphère
- F : force de traînée, en N ; ρ : masse volumique du fluide, en kg/m³ ; V : vitesse relative, en m/s
- S : maître couple (section frontale) de la sphère, en m² ; D : diamètre, en m
- Cx : coefficient de traînée, sans unité, lu dans le tableau ci-dessous selon Re
- ν et μ : viscosités cinématique (m²/s) et dynamique (Pa·s) du fluide
Coefficient de traînée d'une sphère lisse selon le nombre de Reynolds
| Nombre de Reynolds Re | Régime | Cx |
|---|---|---|
| 0,1 | rampant (Stokes), Cx = 24/Re | 245 |
| 1 | rampant, lignes de courant symétriques | 27 |
| 10 | tourbillon torique à l'arrière | 4,1 |
| 100 | sillage instationnaire | 1,1 |
| 1 000 | sous-critique, couche limite laminaire | 0,47 |
| 10 000 | sous-critique | 0,41 |
| 100 000 | sous-critique, décollement vers 80° | 0,47 |
| 300 000 | crise de traînée, décollement vers 120° | 0,10 |
| 1 000 000 | supercritique, couche limite turbulente | 0,20 |
Explications détaillées et calcul dans Mecaflux
Le cas de la sphère en aérodynamique et hydrodynamique est particulièrement intéressant car il met en évidence la relation entre le nombre de Reynolds et la traînée 
Re<1:Aux petites vitesses, les Lignes de courant sont symétriques. On observe deux points d'arrêt A1 et A2. On est en écoulement rampant
Re=4:Si Re augmente, Le décollement apparaît à L'arrière de la sphère tout le Long d'un cercle S en même temps qu'un tourbillon torique centre sur l'axe de la sphère.
Re=10 Re croissant, Le tourbillon augmente de volume jusqu'à occuper tout l'arrière de La sphère tandis que le cercle de décollement S est sensiblement diamétral.
Re=14, Le tourbillon se détache et prend une forme hélicoïdale tandis que La sphère est soumise à une force transversale tournant autour de u, L'écoulement n'est plus permanent mais permanent en moyenne.
Re=100, il apparaît un cercle de décollement à 10° sur La face avant de la sphère. Derrière Le sillage est une zone où La vitesse varie statistiquement autour d'une valeur moyenne nulle.
Re =(1Oe5 à 10e6), Le cercle de décollement se déplace brusquement en arrière et le sillage se réduit.
On admet que :
-
pour Re<(1Oe5 à 10e6), le décollement se produit dans la couche Limite Laminaire
-
pour Re>(1Oe5 à 10e6), le décollement se produit dans la couche limite turbulente.
-
Pour Re =(1Oe5 à 10e6),
il y a décollement au point de transition de la couche limite. La valeur de Re dépend beaucoup de L'état de surface de la sphère .On abaisse la valeur de "Re de déplacement brusque du cercle de décollement", en accroissant La rugosité de la sphère, ce qui précipite l'apparition de la couche limite turbulente.
Variation du coefficient de traînée (cd en anglais ou Cx) d'une sphère (ligne pleine) et d'un disque (pointillés) en fonction du nombre de Reynolds
Variation du coeficient de trainée d'un cylindre de "longueur infinie" perpendiculaire au courant de fluide, en fonction du nombre de Reynolds:
Avec MECAFLUX standard:
Entrez le diamètre et la rugosité de votre sphère , choisissez le fluide, entrez la vitesse du courant (ou de la sphère), et le Cx ainsi que la force de traînée en Newton, vous seront donnés en fonction du nombre de Reynolds
Mecaflux propose dans l'onglet trainée et portance le calcul de la trainée des speres et de cylindre perpendiculaire de longueur donnée en appliquant un correction en fonction du rapport longueur / diametre du cylindre. L'angle peut etre aussi parametré ( 90/60/30/0):
Questions fréquentes
Pourquoi la traînée d'une sphère chute-t-elle brutalement vers Re = 3×10⁵ ?
Parce que la couche limite devient turbulente avant de décoller : plus énergique, elle reste collée plus longtemps et le point de décollement recule d'environ 80° à 120° à partir du point d'arrêt. Le sillage, donc la dépression arrière, se réduit et le coefficient de traînée passe de 0,47 à 0,1. Les alvéoles d'une balle de golf provoquent cette transition dès Re ≈ 5×10⁴, ce qui lui permet d'aller deux fois plus loin qu'une balle lisse.
Quelle est la vitesse limite de chute d'une sphère dans un fluide ?
C'est la vitesse où le poids moins la poussée d'Archimède égale la traînée. En régime de Stokes (Re < 1) elle vaut v = (ρs − ρ) g D² / (18 μ) : un grain de sable de 0,1 mm (2 650 kg/m³) tombe dans l'eau à 9 mm/s, soit 32 m/h. Pour des particules plus grosses on itère avec le Cx du tableau ; voir la page sédimentation.
Le coefficient de traînée d'un cylindre est-il le même que celui d'une sphère ?
Non. Un cylindre de longueur infinie perpendiculaire au courant a un Cx d'environ 1,2 entre Re = 10³ et 2×10⁵, qui tombe à 0,3 après la crise ; un cylindre court est moins freiné grâce au contournement par les bouts (Cx ≈ 0,63 pour L/D = 1, 0,74 pour L/D = 5, 0,82 pour L/D = 10). Un disque face au courant garde un Cx de 1,1 quel que soit Re au-delà de 10³ : ses arêtes vives fixent le décollement.
Comment calculer la traînée d'une sphère, d'un cylindre ou d'un objet de mon projet ?
Dans l'onglet traînée-portance de Mecaflux Standard, vous entrez le diamètre et la rugosité de la sphère, choisissez le fluide et sa température et la vitesse : le logiciel donne le nombre de Reynolds, le Cx et la force en newtons ; il traite aussi le cylindre de longueur donnée, avec la correction de longueur et l'angle d'attaque (90, 60, 30 ou 0°), et les formes géométriques usuelles. Pour un objet transporté, remorqué ou immergé dans votre installation, Mecaflux réalise l'étude de votre projet, ou vous propose une formation sur le logiciel appliquée à votre propre cas.